Université Libre de Bruxelles
Études sur les fonctions
en vue du test d'admission en mathématiques
Volume 1 - Notions fondamentales
Antoine DIERCKX
Version du 4 décembre 2024
1
Résumé
Les notes qui suivent sont à usage strictement personnel et n'ont été ni relues ni corrigées par
un
·
e professionnel
·
le. Elles sont destinées à introduire certains concepts et techniques
mathématiques mais ne constituent en aucun cas un syllabus. De très bons ouvrages, complets et
en accès libres, peuvent être trouvés ici [1] et là [2].
Cette note est séparée en deux volumes :
le premier porte sur des notions fondamentales, indispensables à la réussite du test d'admission
en mathématique.
le deuxième aborde des notions plus avancées, qui vous seront utiles plus tard dans votre
parcours.
J'aimerais également remercier les personnes qui m'ont aidé dans la rédaction et la correction de
cette note, en particulier : Sarah Lejeune et Clara Hannon.
Je rêve d'un jour où l'égoïsme ne régnera plus dans les sciences, où on s'associera pour
étudier, au lieu d'envoyer aux académiciens des plis cachetés, on s'empressera de publier ses
moindres observations pour peu qu'elles soient nouvelles, et on ajoutera Je ne sais pas le
reste.
Évariste Galois
Enn, si vous avez des remarques et/ou des corrections, contactez moi à l'adresse
antwandirx@gmail.com
.
Bonne lecture et bon courage !
TABLE DES MATIÈRES
2
Table des matières
I Rappels 4
1 Calcul numérique 5
1.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Règle des signes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Règle PEMDAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Calcul littéral 8
2.1 Formules de distributivité et mise en évidence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Identités remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
II Généralités 11
3 Notations mathématiques 12
3.1 Égalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2 Opérateurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3.1 Dénition d'un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3.2 Relations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3.3 Opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.4 Quanticateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.5 Symboles arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.5.1 Notion d'indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.5.2 Somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.5.3 Produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4 Nombres et ensembles 16
4.1 Nombres naturels et entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.2 Nombres rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.3 Nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.4 Notations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5 Fonction et variable 18
5.1 Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.2 Fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6 Analyse d'une fonction 20
6.1 Racine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6.2 Signe et inéquation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6.3 Croissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6.4 Ordonnée à l'origine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
III Fonctions polynomiales 22
7 Introduction 23
8 Polynômes du premier degré 24
8.1 Équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8.2 Graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8.2.1 Ordonnée à l'origine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8.2.2 Racine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
TABLE DES MATIÈRES
3
8.2.3 Tableau de signes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8.3 Inéquation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8.4 Exemples simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8.5 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
9 Polynômes du second degré 28
9.1 Équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
9.2 Graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
9.2.1 Ordonnée à l'origine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
9.2.2 Racine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
9.2.3 Tableau de signes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
9.2.4 Minimum et maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
9.2.5 Autres formes d'une équation quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
9.3 Inéquation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
9.4 Exemples simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
9.5 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
10 Solutions des exercices et problèmes 37
10.1 Solutions des exercices sur les polynômes du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
10.2 Solutions des exercices sur les polynôme du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
11 Formulaire 42
Références 42
4
Première partie
Rappels
Si les erreurs de calculs ne reètent pas la compréhension du cours, elles pénalisent énormément
lors d'un examen (ou lors de la construction d'un pont).
Il faut essayer de les éviter au maximum, puis de repérer celles qui se sont glissées entre les mailles du
let pour les corriger avant de poursuivre un raisonnement coûteux en temps qui n'aura servi à rien.
Voici donc quelques rappels.
1
Si j'ai vu plus loin que d'autres, c'est parce que j'étais soutenu par les épaules de géants.
Isaac Newton
1. Cette section est en grande partie inspirée de ce document [3]
1 CALCUL NUMÉRIQUE
5
1 Calcul numérique
1.1 Vocabulaire
Dénition 1.1.
Les éléments d'une addition sont appelés
termes
.
Les éléments d'une multiplication sont appelés
facteurs
.
1.2 Règle des signes
Règle 1.1 (Règles des signes).
Le produit de deux nombres positifs est positif.
Le produit de deux nombres négatifs est positif.
Le produit de deux nombres de signes contraires
(c'est-à-dire d'un nombre positif et d'un nombre né-
gatif) est négatif.
+ + +
− − +
+ − −
− + −
Remarque.
Physiquement, on peut penser que lorsque l'on multiplie par
−1
, on retourne un axe,
par exemple un thermomètre. Toutes les températures positives deviennent négatives, et inversement.
Lorsque l'on réitère l'opération, on retrouve la situation initiale. On comprend alors intuitivement
pourquoi
(−1) · (−1) = +1
ou encore
(−4) · (−3) = 12
.
Remarque.
Par la suite, on pensera à la
soustraction d'un nombre positif
comme à l'
addition d'un
nombre négatif
. Cela simpliera à la fois les formules et les schémas calculatoires.
1.3 Fractions
Règle 1.2 (Multiplication de fractions).
Pour multiplier deux fractions, il sut de multiplier
à la fois leur numérateur et leur dénominateur.
a
b
·
c
d
=
a · c
b · d
(1.1)
Exemple:
2
3
·
1
2
=
2
6
=
1
3
Règle 1.3 (Division par des fractions).
An de diviser par une fraction, il faut multiplier par
son inverse.
a
b
/
c
d
=
a
b
c
d
=
a
b
·
d
c
=
ad
bc
(1.2)
Exemple:
2
3
/
1
2
=
2
3
·
2
1
=
4
3
Remarque.
On remarque que l'analogie de la formule 1.2 avec la remarque 1.2.
En eet, au lieu de considérer une
division par un nombre entier
, on va penser la division comme
la
multiplication par un nombre fractionnaire
. Plus de rigueur sur ces concepts est apportée dans la
section suivante.
1 CALCUL NUMÉRIQUE
6
Règle 1.4 (Addition de fractions).
An d'additionner des nombres fractionnaires, il faut qu'ils
soient au
même dénominateur
.
a
D
+
b
D
=
a + b
D
(1.3)
Si ce n'est pas le cas, il faut multiplier chaque terme par
1 =
d
d
an d'obtenir un dénominateur
commun :
a
b
+
a
′
b
′
=
a · b
′
b · b
′
+
a
′
· b
b
′
· b
=
a · b
′
+ a
′
· b
b · b
′
(1.4)
Exemple:
2
3
+
1
2
=
2 · 2
3 · 2
+
1 · 3
2 · 3
=
4
6
+
3
6
=
4 + 3
6
=
7
6
Exemple:
2
x
2
− x
+
3
x
=
2 · x
(x
2
− x) · x
+
3 · (x
2
− x)
x · (x
2
− x)
=
3x
2
− x + 2x
x · (x
2
− x)
=
x(3x + 1)
x · (x
2
− x)
=
3x + 1
x
2
− x
Remarque.
La technique présentée ci-dessus (multiplication croisée des dénominateurs) n'est pas la
plus ecace en cas de facteur commun entre les dénominateurs. An d'identier les facteurs commun
et s'éviter des calculs inutiles, on introduit la notion de
décomposition en produit de facteurs premiers
.
Dénition 1.2 (Nombre premier).
Un nombre entier naturel est dit premier s'il admet 2
diviseurs distincts : 1 et lui-même.
Exemple:
Voici la liste des nombres premiers plus petit que 20 :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19
9 n'est pas premier car il est divisible par 1, 3, et 9.
Règle 1.5 (Décomposition en facteurs premiers).
Si un nombre n'est pas premier, alors il
peut être décomposé (factorisé ) de manière unique en produit de nombres premiers. Cette
technique permet de rendre explicite des facteurs communs, par exemple entre deux dénomina-
teurs.
L'ordre de la décomposition n'a pas d'importance étant donnée la commutativité de la multipli-
cation.
Exemple:
On veut décomposer le nombre 45 en
facteurs premiers.
45
3
15
5
3
3
1
On obtient donc
45 = 3 · 5 · 3 = 3
2
· 5
On veut décomposer le nombre 735 en
facteurs premiers.
735
5
147
3
49
7
7
7
1
On obtient donc
735 = 3 · 5 · 7
2
1 CALCUL NUMÉRIQUE
7
Remarque.
An de voir si un nombre est divisible par un 2, 3 ou 5, il existe une maniere rapide de
l'apercevoir :
Un nombre est un multiple de 2 si son dernier chire est 0,2,4,6 ou 8.
Un nombre est un multiple de 3 si l'addition de ses chires est un multiple de 3
Exemple:
12345 → 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 → 1 + 5 = 6
Ainsi, 12345 est divisible par 3.
Un nombre est un multiple de 5 si son dernier chire est 0 ou 5.
Exemple:
(Application de la décomposition en facteurs premiers pour l'addition de fraction) On veut
eectuer l'opération suivante :
4
105
+
5
84
Si on utilise la règle 1.4, il va falloir multiplier par 84 à gauche et par 105 à droite, ce qui même un
dimanche pluvieux d'hiver n'est pas une activité recommandable. Au lieu de ça, on va chercher des
facteurs premiers entre les deux fractions an de simplier la mise au même dénominateur :
On veut décomposer le nombre 105 en
facteurs premiers.
105
5
21
3
7
7
1
On obtient donc
105 = 3 · 5 · 7
On veut décomposer le nombre 84 en
facteurs premiers.
84
2
42
2
21
7
3
3
1
On obtient donc
84 = 2
2
· 3 · 7
On voit que les facteurs communs sont
3 · 7 = 21
. On ne doit donc pas les multiplier. On obtient à
présent :
1
105
+
13
84
=
1
3 · 5 · 7
+
13
2
2
· 3 · 7
=
1
3 · 5 · 7
·
2
2
2
2
+
13
2
2
· 3 · 7
·
5
5
=
1 · 4 + 13 · 5
105 · 4
=
4 + 65
420
=
69
420
2 CALCUL LITTÉRAL
8
1.4 Règle PEMDAS
Règle 1.6 (PEMDAS).
Il s'agit de l'ordre des priorités des opérations :
1. Parenthèses
2. Exposants (puissances)
3. Multiplications et Divisions
4. Additions et Soustractions
Exemple:
3 · (3 + 7) −
4
2
2
=3 · 10 −
4
2
2
parenthèses
=3 · 10 −
16
2
exposants
=30 − 8
multiplications (et divisions)
=22
additions (et soustractions)
2 Calcul littéral
2.1 Formules de distributivité et mise en évidence
Règle 2.1 (Formule de distributivité).
Lorsque qu'un nombre multiplie une parenthèse, on
peut
distribuer
celui-ci à chaque terme présent dans la parenthèse.
a · (b + c) = ab + ac
(2.1)
Exemple:
7 · (3x + 6) = 21x + 42
Inversement, s'il existe un facteur commun à tout les termes d'une parenthèse, on peut eectuer
l'opération inverse, dite de mise en évidence.
Règle 2.2 (Formule de mise en évidence).
ab + ac = a ·(b + c)
(2.2)
Exemple:
x
2
+ 27x = x ·x + x ·27 = x ·(x + 27)
Exemple:
21x + 42
7
=
7 · (3x + 6)
7
= 3x + 6 = 3(x + 2)
Règle 2.3 (Formules de double distributivité).
Dans le cas où l'on multiplie deux parenthèses
entre elles, il faut multiplier chaque terme deux à deux. C'est la
double distributivité
.
(a + b) · (c + d) = ac + ad + bc + bd
(2.3)
2 CALCUL LITTÉRAL
9
Exemple:
(x − 12)(x + 4) = x · x + x · 4 + (−12) · x + (−12) · 4
= x
2
− 8x − 48
Figure 1
Illustration de la formule 2.3
2.2 Identités remarquables
Les deux identités suivantes sont des cas particuliers des formules de distributivité vues plus haut.
Ce sont des égalités qui reviennent souvent dans les calculs et qu'il peut être utile de connaître par
coeur.
Théorème 2.1.
(a + b)
2
= a
2
+ b
2
+ 2 · ab
(2.4)
Preuve.
(a + b)
2
= (a + b)(a + b) = a
2
+ ab + ba + b
2
= a
2
+ b
2
+ 2ab
Théorème 2.2.
(a − b)(a + b) = a
2
− b
2
(2.5)
Preuve.
(a − b)(a + b) = a
2
+ ab − ba − b
2
= a
2
− b
2
2 CALCUL LITTÉRAL
10
2.3 Puissances
Dénition 2.1.
On dénit l'opération puissance par la multiplication un certain nombre de fois
de ce nombre par lui même. On note en exposant du nombre multiplié le nombre de fois qu'il a
été multiplié
Exemple:
12
2
= 12 · 12 = 144
3
3
= 3 · 3 · 3 = 9 · 3 = 27
3
2
+ 4
2
= 9 + 16 = 25 = 5
2
Propriété 2.3 (Multiplication de puissances).
Pour multiplier deux mêmes nombres ayant
des puissances diérentes, on additionne leur exposants.
Soit
a
,
n
,
m
des nombres non-nuls. On a :
a
m
· a
n
= a
m+n
(2.6)
Exemple:
3
2
· 3
4
= 3
2+4
= 3
6
a
b
· a
c
= a
b+c
Remarque.
Attention, cette règle ne fonctionne qui si les deux nombres sont égaux. Par exemple :
a
b
1
1
· a
b
2
2
= (a
1
· a
2
)
b
1
+b
2
a
b
1
+ a
b
2
= (a
1
+ a
2
)
b
Propriété 2.4 (Puissances particulières).
Soit
a
un nombre non nul. Alors :
a
0
= 1
(2.7)
a
1
= a
(2.8)
√
a = a
1/2
(2.9)
n
√
a = a
1/m
(2.10)
Exemple:
√
x
2/3
= x
1
2
·
2
3
= x
1/3
=
3
√
x
Exemple:
3
q
√
x
18
=
x
18
1/2
1/3
= x
18·
1
2
·
1
3
= x
18
2·3
= x
3
Propriété 2.5 (Manipulation de puissances).
Soit
a
,
b
,
m
,
m
des nombres non-nuls. Alors :
1
a
m
= a
−m
(2.11)
a
m
b
n
=
a
b
m−n
(2.12)
11
Deuxième partie
Généralités
Nous allons introduire ici plusieurs notions très générales, qui pourraient paraître abstraites dans
un premier temps, mais qui seront concrétisées par des applications dans les parties 8 et 9. Le but de
cette introduction est de donner un point de vue le plus général possible sur la notion de fonction tout
en limitant le plus possible le formalisme qui y est lié.
L'essence des mathématiques, c'est la liberté.
Georg Cantor
3 NOTATIONS MATHÉMATIQUES
12
3 Notations mathématiques
An de pouvoir exprimer de manière compacte et précise les notions abordées dans ce syllabus,
nous introduisons plusieurs notations. Celles-ci se rapprochent du langage formel que vous rencontrerez
dans vos études d'informatique.
3.1 Égalités
Dans la suite de ces notes, nous étudierons comment évoluent certaines quantités par rapport à
d'autres. Pour cela, le signe égal
=
sera abondamment utilisé, ainsi que plusieurs de ses variantes.
Notation
3.1
.
On note
=
pour signier que deux quantités sont égales
On note
=
pour signier que deux quantités sont diérentes
On note
≡
pour
assigner
une équation à un objet mathématique
On note
b=
pour signier égal par
dénition
On note
!
=
pour signier qu'on
impose
que deux quantités soit égales
On note
<
(ou
≤
) pour signier plus petit (ou égal)
On note
>
(ou
≥
) pour signier plus grand (ou égal)
Exercice 3.1.
f ≡ y = ax
2
+ bx
!
= 0
La fonction
f
a pour équation
y = ax
2
+ bx
qu'on impose
= 0
.
3.2 Opérateurs logiques
Lors de ce cours, on se limitera à l'utilisation des 3 symboles suivants :
Notation
3.2
.
On note
⇒
pour signier implique .
Exemple:
Il pleut
⇒
le sol est mouillé
Notation
3.3
.
On note
⇐
pour signier est impliqué par
Exemple:
le sol est mouillé
⇐
Il pleut
mais : le sol est mouillé
⇏
Il pleut
Notation
3.4
.
On note
⇐⇒
pour signier est équivalent à , si et seulement si ( ssi pour
les intimes).
Ce symbole
⇐⇒
est la contraction des deux précédents
⇐
et
⇒
Exemple:
le sol est mouillé
⇐⇒
Il pleut
En eet, le sol peut être mouillé pour d'autre raison, les deux propositions ne sont donc pas équivalentes.
Exemple:
Si
a ⇐ b
et
b ⇐ a
, alors
a ⇐⇒ b
.
Exemple:
Si
a ⇐⇒ b
, alors
a ⇐ b
et
b ⇐ a
.
Cependant, notons l'existence de 3 opérateurs logiques supplémentaires, particulièrement utilisés
en informatique :
3 NOTATIONS MATHÉMATIQUES
13
Notation
3.5
.
On note
¬
pour signier la négation ( non )
Notation
3.6
.
On note
∧
pour signier la conjonction ( et )
Notation
3.7
.
On note
∨
pour signier la disjonction non-exclusive ( ou )
Une mathématicienne déjeune au restaurant. Le serveur lui demande : Fromage ou dessert ? .
La mathématicienne répond oui .
3.3 Ensembles
3.3.1 Dénition d'un ensemble
Dénition 3.8.
Un
ensemble
représente une collection
2
d'objets. Les objets de la collection
sont les éléments de l'ensemble.
Remarque.
Il est possible de dénir un même ensemble de plusieurs manières (
en compréhension
ou
comme image directe
).
Exemple:
{n ∈ N|
est pair
}
et
{2m|m ∈ N}
sont équivalents.
3.3.2 Relations sur les ensembles
Notation
3.9
.
On note
∈
l'
appartenance
entre un élément d'un ensemble et celui-ci.
Exemple:
1 ∈ {0, 1, 2, 3}
. On dit que
1
est un
élément
de
{0, 1, 2, 3}
.
Notation
3.10
.
On note
⊂
l'
inclusion
entre deux ensembles.
Remarque.
Dans le cas particulier où l'ensemble contient un élément unique, on l'appelle un
singleton
.
Exemple:
{1} ⊂ {0, 1, 2, 3}
{1, 3} ⊂ {0, 1, 2, 3}
On dit que
{1}
et
{1, 3}
sont des
parties
de
{0, 1, 2, 3}
.
3.3.3 Opérations sur les ensembles
Si on est en présence de plusieurs ensembles, on dénit les deux opérations suivantes :
Notation
3.11
.
On note
∩
l'
intersection
entre deux ensembles.
Exemple:
{0, 1, 2, 3} ∩ {0, 1} = {0, 1}
Remarque.
Si l'intersection de deux ensembles est vide, ils sont dit
disjoints
.
3 NOTATIONS MATHÉMATIQUES
14
Notation
3.12
.
On note
∅
pour représenter l'ensemble vide.
Exemple:
{2, 3} ∩ {0, 1} = ∅
Notation
3.13
.
On note
∪
l'
union
entre deux ensembles.
Exemple:
{1} ∪ {0} = {0, 1}
3.4 Quanticateurs
Lorsqu'on écrit des dénitions et théorèmes, il peut être utile de rendre plus compacte l'écriture.
À cet eet, on utilise souvent les trois notations suivantes :
Notation
3.14
.
On note
∀
pour signier
pour tout
, quel que soit .
Exemple:
∀n, m ∈ N, n + m ∈ N
Pour tout entiers naturels
n
et
m
, leur somme est également un entier
Notation
3.15
.
On note
∃
pour signier
il existe
(au moins un)
Exemple:
∀n ∈ N, ∃m ∈ N
tel que
m > n
Pour tout entier naturel
n
, il existe un autre entier naturel
m
plus grand que
n
. On dit que
N
est
non
borné
.
Notation
3.16
.
On note
:
ou
|
pour signier
tel que
, telle que , tels que , etc.
Exemple:
∀n ∈ N, ∃m ∈ N| m > n
Remarque.
Attention, l'ordre des quanticateurs a beaucoup d'importance.
Exemple:
∀n ∈ N ∃m ∈ N : m ≥ n
Pour tout entier naturel n, il existe un autre entier naturel m tel que m est supérieur ou égal à n.
Exemple:
∃m ∈ N : ∀m ∈ N , m ≥ n
Il existe un entier naturel m tel que pour tout entier naturel n, m est plus grand ou égal à n.
Les exemples précédents énoncent deux propositions contradictoires. A votre avis, laquelle est cor-
recte ?
Remarque.
A titre personnel, je recommande de limiter l'utilisation des quanticateurs et d'écrire le
plus possible en français dans les copies, an d'éviter une correction plus intransigeante due à l'utilisa-
tion de notations rigoureuses. De plus, il est d'usage de toujours séparer les notations mathématiques
de la rédaction en langage naturel.
3 NOTATIONS MATHÉMATIQUES
15
3.5 Symboles arithmétiques
3.5.1 Notion d'indice
Dénition 3.17.
Un indice est un symbole placé souvent à droite et au-dessous d'un autre
symbole, qu'il caractérise ou numérote.
Exemple:
Soit le couple de nombre
(3, −2)
qui représente la position du nombre
p
sur une grille. Je
peux utiliser une notation indicielle pour faire référence à ces nombres :
(p
1
, p
2
)
avec
p
1
= 3
et
p
2
= −2
Je peux également écrire
p
i
avec
i ∈ {1, 2}
Remarque.
En programmation informatique, la notation indicielle est massivement utilisée, notamment
pour faire référence à un élément d'une liste.
De plus, les indices commence généralement en
0
et non en
1
.
Exemple:
a = [5,4,3,2,1]
print('le premier élement de la liste est',a[0],'et le 4eme est', a[3])
=> le premier élement de la liste est 5 et le 4eme est 2
3.5.2 Somme
Notation
3.18
.
On note
P
une somme répétée. Pour cela, on introduit un indice
i
, qui commence
à
i = 0
ou
i = 1
(en général), et qui s'arrête à la valeur renseignée au dessus du symbole
P
:
i=k
X
i=1
Exemple:
i=3
X
i=0
i
2
= 0
2
+ 1
2
+ 2
2
+ 3
2
= 1 + 4 + 9 = 14
k=∞
X
k=0
x
k
x!
= 1 + x +
x
2
2!
+
x
3
3!
+
x
4
4!
+ ... = e
x
3.5.3 Produit
Notation
3.19
.
On note
Q
un produit répété. Pour cela, on introduit un indice
i
, qui commence
à
i = 1
(en général), et qui s'arrête à la valeur renseignée au dessus du symbole
Q
:
i=k
Y
i=1
4 NOMBRES ET ENSEMBLES
16
Exemple:
j=3
Y
j=1
j
2
= 1
2
· 2
2
· 3
2
= 4 · 9 = 36
j=n
Y
j=1
j = 1 · 2 · 3 · ... · (n − 1) · n = n!
Remarque.
Les indices utilisés dans les sommes ou produits sont dit
muets
, car ils disparaissent après
la sommation (ou la multiplication).
3
Exemple:
j=3
Y
j=1
j
2
=
k=3
Y
k=1
k
2
=
γ=3
Y
γ=1
γ
2
= 36
4 Nombres et ensembles
4.1 Nombres naturels et entiers
1. Les premiers nombres qui viennent à l'esprit sont les
nombres entiers naturels
. C'est avec
eux que l'on compte les objets de la vie quotidienne :
Alice a trois pommes, Bob a deux bras,
Elon a 200 milliards de dollars américains
.
Dénition 4.1.
L'ensemble des
entiers naturels
est l'ensemble
N ≡ {0, 1, 2, 3, ...}
2. Dans les nombres naturels, l'addition est bien dénie (c'est-à-dire que l'addition de 2 nombres
naturels donnera toujours un troisième nombre naturel), mais la soustraction ne l'est pas. En
eet :
3 + 5 = 8 ∈ N
mais
3 − 5 = −2 /∈ N
ou plus rigoureusement :
∀a ∈ N ∃b ∈ N | a − b = c /∈ N
On dénit alors les
nombres entiers
comme suit :
Dénition 4.2.
L'ensemble des nombres entiers est l'ensemble
Z ≡ {..., −3, −2 − 1, 0, 1, 2, 3, ...}
Propriété 4.1.
On peut écrire
N ⊂ Z
car tout nombre entier naturel est un nombre entier.
3. Une autre justication de leur appellation muet est qu'ils ne crient pas lorsqu'on les modie.
4 NOMBRES ET ENSEMBLES
17
4.2 Nombres rationnels
De la même manière qu'on a étendu l'ensemble des naturels
N
à l'ensemble des entiers
Z
par la
soustraction, on va étendre l'ensemble
Z
à l'ensemble des
nombres rationnels
Q
par la division.
Dénition 4.3.
On dénit l'ensemble des
nombres rationnels
comme l'ensemble
Q ≡ {
a
b
avec
a, b ∈ Z, b = 0}
Propriété 4.2.
On peut écrire
N ⊂ Z ⊂ Q
car tout nombre entier est un nombre rationnel.
Intuitivement, les nombres rationnels sont les fractions, ou les nombres à virgules dont les décimales
se répètent.
Exemple:
3
2
;
1, 6
;
1
3
= 1, 333...
4.3 Nombres réels
Une dernière généralisation évoquée ici est l'
ensemble
des nombres réels
R
. Cette généralisation est un peu
plus subtile que les deux précédentes, elle découle du fait
que certains nombres ne peuvent s'écrire sous la forme
a
b
, quels que soient les nombres a,b réels.
Figure 2
Représentation des in-
clusions en terme d'ensembles
Dénition 4.4.
L'ensemble des
nombres réels
est l'ensemble contenant tous les nombres qui
peuvent être représentés par une partie entière et une liste nie ou innie de décimales.
On note cet ensemble
R
.
Des exemples de nombres réels non rationnels sont
π
et
√
2
.
Remarque.
Si cela vous intéresse, sachez qu'il est possible de généraliser encore les nombres réels pour
obtenir les nombres complexes
4
ou encore les quaternions
5
.
.
4. On "rajoute" aux nombres réels le nombre imaginaire
i
en dénissant
i
2
= −1
ou encore
i =
√
−1
. On dénit un
nombre complexe comme la somme d'un nombre réel et d'un nombre imaginaire, de la forme
a + ib
où
a, b ∈ R
. Dans le
cas des polynômes, cela permet d'obtenir autant de solutions que le degré du polynôme (voir formule 9.17), ce qui rend
le plan complexe
algébriquement fermé
.
5. Même principe que pour les nombres imaginaires, mais en introduisant
i
2
= j
2
= k
2
= ijk
. Cette structure est
associée au groupe
SU(2)
.
5 FONCTION ET VARIABLE
18
4.4 Notations sur les ensembles
An de rendre toujours plus compacte l'écriture, nous introduisons les notations suivantes :
Notation
4.5
.
On note
X
un ensemble quelconque, et
x
ses éléments.
Notation
4.6
.
On note
X
+
les éléments positifs d'un ensemble :
X
+
≡ {x ∈ X|x ≥ 0}
(4.1)
Notation
4.7
.
On note
X
−
les éléments négatifs d'un ensemble :
X
−
≡ {x ∈ X|x ≤ 0}
(4.2)
Notation
4.8
.
On note
X
0
les éléments d'un ensemble privé de
0
:
X
0
≡ X\{0}
(4.3)
Propriété 4.3.
Z
+
= N
(4.4)
Propriété 4.4.
N
−
= ∅
(4.5)
5 Fonction et variable
5.1 Variable
Dénition 5.1.
Une
variable
est un symbole représentant un élément quelconque d'un ensemble.
Par exemple, on peut dénir la variable
x ∈ X ≡ Q
+
. Même si l'on ne connaît explicitement la
variable
x
, on sait qu'il s'agit d'un nombre rationnel et positif.
Dénition 5.2.
Un
intervalle
[a, b] ⊂ R
est dénit comme l'ensemble des nombres réels entre
a
et
b
. On peut écrire
[a, b] ≡ {x ∈ R|a ≤ x ≤ b}
(5.1)
[a, b[ ≡ {x ∈ R|a ≤ x < b}
(5.2)
]a, b[ ≡ {x ∈ R|a < x < b}
(5.3)
[a, ∞[ ≡ {x ∈ R|a ≤ x}
(5.4)
] − ∞, b] ≡ {x ∈ R|x ≤ b}
(5.5)
5 FONCTION ET VARIABLE
19
Exemple:
[0, 1]
est le segment de la droite réelle compris entre
0
et
1
. On peut écrire
[0, 1]\{0, 1} =]0, 1[
Exemple:
[−3; 3]\{0} = [−3; 0[∪]0; 3]
Exemple:
]0, ∞[= R
0
+
5.2 Fonction
Dans la plupart des cas que nous allons aborder, les fonctions seront dénies sur un intervalle.
On peut imaginer une fonction comme une
machine
qui envoie une
(ou plusieurs)
variable
(s)
sur
une
(ou plusieurs)
variable
(s)
. Ainsi, pour dénir une fonction, il faut à la fois dénir son ensemble de
départ
(son domaine)
et son
ensemble d'arrivée
, mais aussi la manière précise (explicite) dont chaque
élément du domaine est envoyé dans l'ensemble d'arrivée
6
.
Dénition 5.3.
Soit
X
,
Y
deux ensembles, et
x ∈
X
,
y ∈ Y
. Alors on dénit la
fonction
f
par :
f : X → Y
(5.6)
x 7→ f(x)
(5.7)
où tout élément
x ∈ X
est envoyé sur
au plus
un
élément
y ∈ Y
. On peut écrire
y = f(x)
Figure 3
Visualisation du
concept de fonction en terme d'en-
sembles
Autrement dit, on a écrit une relation entre
x
et
y
.
Si le premier varie, le deuxième varie aussi. La relation entre les deux peut être représentée, dans le cas
d'une fonction réelle d'une variable réelle, par une courbe contenue dans un plan. Par la suite, nous
considérerons toujours une fonction
f : R → R
.
Dénition 5.4 (Fonction réelle d'une variable réelle).
f : X ⊂R → Y ⊂ R
(5.8)
x 7→ f(x)
(5.9)
Dans ce cas précis, on dénit l'
abscisse
et l'
ordonnée
comme la variable
x
et son image par la
fonction
f(x)
. Le couple des deux forme alors une
coordonnée
, qui identie un point
(x, f (x))
.
Le concept de fonction est assez abstrait car très général. Il est important de retenir son caractère
dynamique
.
6. Plus précisément, chaque élément du domaine est envoyé sur l'ensemble image de la fonction, qui est en général
un sous-ensemble de ce dernier.
6 ANALYSE D'UNE FONCTION
20
Dénition 5.5.
On dénit le
graphe
Γ
d'une
fonction
f
par l'ensemble des coordonnées
(x, y = f (x))
. On écrit :
Γ
f
≡ {(x, y)|x ∈ X, y ∈ Y, y = f(x)}
(5.10)
Figure 4
Représentation gra-
phique d'une fonction
6 Analyse d'une fonction
6.1 Racine
Dénition 6.1.
L'ensemble des racines d'une fonction sont toutes les valeurs de
x ∈ X
telles que
f(x) = 0
On peut écrire que l'ensemble des racines d'une fonction
f : X ⊂ R → Y ⊂ R
est
X
0
≡ {x ∈ X|f (x) = 0}
Graphiquement, les racines d'une fonction
f
sont ses intersections avec l'axe
y = 0
.
6.2 Signe et inéquation
Dénition 6.2 (Signe d'une fonction).
Le signe d'une fonction est positif si
f(x) > 0
et négatif
si
f(x) < 0
. On note
sgn
f(x)
> 0
ou
sgn
f(x)
< 0
Graphiquement, une fonction est positive si elle se place au dessus de l'axe
y = 0
(
l'axe des abscisses
)
et négative si elle se place en dessous.
Un concept similaire à celui du signe d'une fonction est celui d'
inéquation
.
Dénition 6.3 (Inéquation).
Une inéquation est une relation (
une question
) inégalitaire entre
deux quantités qui contiennent des inconnues. Soit
f
et
g
deux fonctions dénie sur
X
vers
Y
.
Alors l'inéquation
f(x) > g(x)
revient à déterminer l'ensemble
{x ∈ X|f(x) > g(x)}
Autrement dit, cela revient à déterminer
{x ∈ X|sgn
f(x) − g(x)
> 0}
(6.1)
6 ANALYSE D'UNE FONCTION
21
6.3 Croissance
La croissance d'une fonction est une notion capitale pour aborder le concept de dérivée abordé dans
la Partie 2 : notions avancées .
Soit f une fonction et I un intervalle contenu dans son ensemble de dénition
I ⊂ X
.
Dénition 6.4.
La fonction f est dite
croissante sur Y
si elle prend des va-
leurs de plus en plus grandes lorsque x
croît.
Mathématiquement, on écrit :
Soit
f : I ⊂ X ⊂ R → Y ⊂ R
dé-
nie sur un intervalle I. La fonction est
dite croissante
⇐⇒
∀x
1
, x
2
∈ I : x
1
< x
2
⇒ f(x
1
) < f(x
2
)
(6.2)
Figure 5
Graphique d'une fonction crois-
sante entre
a
et
b
Dénition 6.5.
La fonction f est dite
décroissante sur Y
si elle prend des
valeurs de plus en plus petites lorsque x
croît.
Mathématiquement, on écrit :
Soit
f : I ⊂ X ⊂ R → Y ⊂ R
dé-
nie sur un intervalle I. La fonction est
dite décroissante
⇐⇒
∀x
1
, x
2
∈ I : x
1
< x
2
⇒ f(x
1
) > f(x
2
)
(6.3)
Figure 6
Graphique d'une fonction décrois-
sante entre
a
et
b
6.4 Ordonnée à l'origine
Dénition 6.6.
Soit
f
une fonction d'ensemble de départ
X
et d'ensemble image
Y
.
Son ordonnée à l'origine est l'unique point
y ∈ Y
satisfaisant
y = f(0)
(6.4)
Graphiquement, il s'agit de l'intersection entre le graphe
Γ
f
de la fonction et l'axe
x = 0
.
En général, l'ordonnée à l'origine d'une fonction est beaucoup plus simple à calculer que ses racines.
Exemple:
Soit la fonction de
R\{2}
dans
R
dénie par
y = f(x) =
2x − 1
x − 2
Son ordonnée à l'origine est donnée par :
f(0) =
2 · 0 − 1
0 − 2
=
−1
−2
=
1
2
22
Troisième partie
Fonctions polynomiales
Remarque.
Par abus de langage, on appelle parfois une fonction polynomiale un polynôme, confondant
ainsi la notion de fonction polynomiale avec celle de polynôme formel. Cette confusion est sans gravité
dans le cadre des polynômes à coecients réels ou complexes (ou plus généralement à coecients dans
un corps inni) mais peut conduire à des contresens en général (par exemple pour les polynômes à
coecients dans un corps ni). [4]
Par la suite, nous restreindrons le terme polynôme à son sens de
fonction polynomiale sur les réels
.
Les mathématiques sont une sorte de jouet que la nature nous a lancé pour nous consoler et
nous divertir dans cette vallée de larmes.
Jean-Baptiste le Rond d'Alembert
7 INTRODUCTION
23
7 Introduction
Dans le cadre de ces notes, nous prendrons la dénition suivante pour un polynome :
Dénition 7.1.
Un polynôme
P
à coecients réels est une fonction de la forme
P ≡ f(x) =
n
X
k=0
a
k
x
k
= a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ a
3
x
3
+ ··· + a
n
x
n
On peut alors dénir des cas particuliers, correspondant au petites puissances de
x
.
Dénition 7.2 (Polynômes particuliers).
On distingue les polynômes particuliers suivants :
0. Les fonctions
constantes
(
n = 0
)
f(x) = a a ∈ R
(7.1)
1. Les fonctions
anes
(
n = 1
)
f(x) = ax + b a ∈ R
0
; b ∈ R
(7.2)
2. Les fonctions
quadratiques
(
n = 2
)
f(x) = ax
2
+ bx + c a ∈ R
0
; b, c ∈ R
(7.3)
3. Les fonctions
cubiques
(
n = 3
)
f(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d a ∈ R
0
; b, c, d ∈ R
(7.4)
8 POLYNÔMES DU PREMIER DEGRÉ
24
8 Polynômes du premier degré
8.1 Équation
Dénition 8.1.
On dénit un
polynôme de degré 1
comme une fonction
f : R → R
de la
forme
y = f(x) = ax + b
où
a
et
b
sont des nombres réels quelconques.
Remarque.
Attention,
a
et
b
ne sont pas des variables ! Ces nombres sont xés,
donnés
par la personne
qui fait l'exercice. Ils ne varient donc pas au cours de l'exercice au contraire de
x
et
y = f(x)
.
Monsieur et Madame Naume ont une lle. Comme s'appelle-t-elle ?
Réponse : Pauline
8.2 Graphe
Les graphes correspondant aux polynômes du premier degré sont les
droites
.
8.2.1 Ordonnée à l'origine
Propriété 8.1 (Ordonnée à l'origine d'une droite).
Soit une droite d'équation
D ≡ f(x) =
ax + b
. Alors son ordonnée à l'origine est :
f(0) = b
(8.1)
Preuve.
f(x = 0) = a · (x = 0) + b
= a · 0 + b
= b
Ainsi, une droite passe par l'
origine
(point du plan déni pas
(x, y) = (0, 0)
) si
b = 0
.
8.2.2 Racine
Propriété 8.2 (Racine d'un polynôme de degré 1).
Soit
f = ax+b
un polynôme du premier
degré. Alors il possède une unique racine dont l'abscisse est donnée par :
x
0
=
−b
a
(8.2)
Preuve.
En appliquant la dénition du point 6, on voit qu'il faut résoudre l'égalité suivante :
y = f(x
0
) = 0
où
f(x) ≡ ax + b
(8.3)
⇐⇒ ax
0
+ b = 0
(8.4)
⇐⇒ ax
0
= −b
(8.5)
⇐⇒ x
0
=
−b
a
(8.6)
8 POLYNÔMES DU PREMIER DEGRÉ
25
Remarque.
On remarque que le cas
a = 0
n'est pas déni (car on diviserait par 0). Ceci est cohérent
puisque cela correspond au cas où
f(x) = b
, et pour peu que
b = 0
, on retrouve le fait que
f(x) = 0 ∀x
.
La fonction constante non-nulle ne possède donc pas de racine.
8.2.3 Tableau de signes
Après avoir déterminé la racine (s'il y en a une), on peut dresser un tableau de signes an de se
faire une idée du comportement de notre droite. Deux cas peuvent alors apparaître :
x ] − ∞; x
0
[ x
0
]x
0
; +∞[
signe de
f(x)
- 0 +
Ce cas correspond à une droite
montante
,
c'est-à-dire avec une pente positive, et donc
avec
a > 0
.
Une droite montante est
partout croissante
.
x ] − ∞; x
0
[ x
0
]x
0
; +∞[
signe de
f(x)
+ 0 -
Ce cas correspond à une droite
descendante
,
c'est-à-dire avec une pente négative, et donc
avec
a < 0
.
Une droite descendante est
partout décrois-
sante
.
8.3 Inéquation
Dénition 8.2 (Inéquation du premier degré).
Une inéquation stricte du premier degré à
une inconnue est de la forme
ax + b < 0
(8.7)
Remarque.
Cette dénition se généralise en remplaçant
<
par
≤
,
>
et
≥
.
Graphiquement, cela revient à considérer
x ∈ R
seulement si la droite est en dessous de l'axe des
abscisses.
Exemple:
3x + 1 > 0 ⇐⇒ x >
−1
3
Exemple:
u − 3
2
+ 4 > 5u ⇐⇒ u − 3 + 8 > 10u ⇐⇒ 5 > 9u ⇐⇒ u <
5
9
Propriété 8.3.
Lorsque l'on multiplie une inégalité par
(−1)
, le sens de l'inégalité change. Par
exemple :
−x ≤ −y ⇐⇒ x ≥ y
(8.8)
Exemple:
x
2
+ 3x − 5 ≥ (x −9)(x + 3) ⇐⇒ x
2
+ 3x − 5 ≥ x
2
− 6x − 27 ⇐⇒ 22 ≥ −9x ⇐⇒ x ≥
22
9
8.4 Exemples simples
Remarque.
An de ne pas entraver le plaisir de la résolution d'exercices, les indications et/ou solutions
sont localisées dans le chapitre 10. Les symboles suivants sont utilisés :
indique que l'usage de la calculatrice est recommandée.
indique la présence d'une indication.

indique la présence d'une résolution partielle de l'exercice.
indique la présence de la solution nale.

indique la présence d'une solution (et explication ) détaillée.
8 POLYNÔMES DU PREMIER DEGRÉ
26
Deux points pour une droite
Exercice 8.1 (

10.1).
Soit
p
1
= (x
1
, y
1
) = (2; 1)
et
p
2
= (x
2
, y
2
) = (3; 4)
deux points qui appar-
tiennent à une droite.
Donner l'équation de
y = f(x)
Calculer ses racines
Dresser le tableau de signes de
f
Une droite pour deux points
Exercice 8.2 (

10.2).
Soit une droite donnée par
y = f(x) = −2x + 3
.
Est-ce que les points
p
1
= (x
1
, y
1
) = (7, −12)
et
p
2
= (x
2
, y
2
) = (−15, 33)
appartiennent à la droite ?
Exercice 8.3.
Dans les cas suivants, déterminer si le point
p
appartient au graphe de la fonction.
f
1
(x) = 3x − 5
et
p
1
= (1; −2)
f
2
(y) = −2y + 1
et
p
2
= (−2; 3)
f
3
() = 2 + 4
et
p
3
= (−1; −2)
f
4
(γ) =
2
3
γ +
7
3
et
p
4
= (4; 5)
Exercice 8.4.
Résoudre des les inéquations suivantes en donnant la solution sous forme d'un intervalle
solution :
1.
x − 3 < 5x + 1
2.
2 − 3x ≥ 0
3.
5x − 7 ≥ 0
4.
−4x +
5
4
≤ 0
5.
−2 −
3
2
x ≥ 0
8.5 Problèmes
Il n'y a pas de problème
Il n'y a que des professeurs.
Jacques Prévert
Exercice 8.5 (Vendeur de chemises(

10.3)).
Un commerçant veut écouler 100 chemises
démodées. Il réussit à en vendre 43 au prix initial. Il consent alors un rabais de 1
¿
par chemise et en
vend ainsi 17. Il liquide le reste à 1,5
¿
l'unité.
1. Calculer le prix initial d'une chemise
x
c
, sachant qu'il a encaissé en tout 1 243
¿
2. Une fois
x
c
calculé, réinjecter sa valeur dans l'égalité trouvée au point précédent an de vérier
son résultat.
Exercice 8.6 (

10.4).
Trois électriciennes ont eectué les installations électriques dans les
diérents appartements d'un immeuble. La première a travaillé sur deux cinquièmes du nombre to-
tal d'appartements, la seconde a travaillé sur un cinquième du nombre total d'appartements plus 8
appartements, la dernière a travaillé sur les 16 appartements qui restent.
1. Calculer le nombre total d'appartements de l'immeuble.
2. En déduire, pour chaque électricienne le nombre d'appartements sur lequel elle a travaillé.
Exercice 8.7 (Garage automobile(

10.5)).
Un garage automobile propose à un client de
reprendre son véhicule d'occasion au prix de 3 790 pour acheter un nouveau véhicule neuf. Pour nancer
son achat, le client doit ajouter au montant de la reprise un quart du prix du nouveau véhicule puis
compléter par un emprunt égal à la moitié du prix du nouveau véhicule.
1. Quel est le prix du nouveau véhicule ?
8 POLYNÔMES DU PREMIER DEGRÉ
27
2. Quel est le montant de la somme empruntée ?
Exercice 8.8 (Marchands d'internet).
Soit deux opérateurs du marché de la téléphonie mobile en
Belgique, Troximousse et Jaune. Chez Troximousse, il faut payer pour les frais d'inscription (
5
¿
),
puis le prix du Mb de data coûte
5
centimes. Chez Jaune, les frais d'inscription sont gratuit et le prix
du Mb est de
8
centimes. On note
t(x)
le prix de l'abonnement internet en fonction du Mb consommé
chez Troximousse et
j(x)
chez Jaune.
1. Déterminer les deux fonctions
t(x)
et
j(x)
.
2. Représenter les deux fonctions
t(x)
et
j(x)
sur un même graphe.
3. Déterminer graphiquement (approximativement) la quantité de data pour laquelle le prix est le
même chez les deux opérateurs
4. Déterminer algébriquement la quantité de data pour laquelle le prix est le même chez les deux
opérateurs.
Exercice 8.9 (
).
Une société d'informatique veut publier un nouveau logiciel en magasin. Les frais
de création s'élève à
30 000
¿
, et la production de chaque boite contenant le logiciel coûte
3, 5
¿
.
Déterminer le coûts de production
C(n)
de
n
logiciels.
Chaque logiciel est vendu
6, 5
¿
. Calculer la recette
R(n)
pour
n
logiciels vendus.
Représenter graphiquement dans un même repère les fonctions
C
et
R
associées.
Combien de logiciels la société doit-elle vendre pour réaliser un bénéce ?
La société souhaite réaliser des bénéces à partir de
4000
logiciels vendus. A quel prix doit-elle
alors vendre chaque logiciel ?
Remarque.
Les exercices suivants : 8.5 et 8.6 sont tirés de ce pdf.[5]
Si les gens ne croient pas que les mathématiques sont simples, c'est uniquement parce qu'iels ne
réalisent pas à quel point la vie est compliquée.
John von Neumann
9 POLYNÔMES DU SECOND DEGRÉ
28
9 Polynômes du second degré
9.1 Équation
Remarque.
Il existe plusieurs manières d'écrire une équation quadratique. Nous verrons les trois prin-
cipales :
1. la forme
réduite
2. la forme
factorisée
3. la forme
canonique
Les formes factorisées et canoniques seront abordées plus tard dans cette section 9.
Dénition 9.1 (Forme réduite).
On dénit un
polynôme du second degré
par la fonction
f : R → R
de la forme
y = f(x) = ax
2
+ bx + c
où
a ∈ R
0
et
b, c ∈ R
9.2 Graphe
Les graphes correspondant aux polynômes du second degré sont les
paraboles
.
9.2.1 Ordonnée à l'origine
Propriété 9.1 (Ordonnée à l'origine d'une parabole).
Soit une parabole d'équation
P ≡
f(x) = ax
2
+ bx + c
. Alors son ordonnée à l'origine est :
f(0) = c
(9.1)
Preuve.
f(x = 0) = a · (x = 0)
2
+ b · (x = 0) + c
= a · 0
2
+ b · 0 + c
= c
Ainsi, une parabole passe par l'
origine
(point du plan déni pas
(x, y) = (0, 0)
) si
c = 0
.
9.2.2 Racine
La formule pour la racine étant plus compliquée dans le cas d'un polynôme de degré 2, on introduit
d'abord une première quantité : le discriminant.
Dénition 9.2 (Discriminant).
Soit
f = ax
2
+ bx + c
avec
a ∈ R
0
et
b, c ∈ R
.
On dénit le
discriminant
∆
0
comme suit :
∆
0
≡ b
2
− 4ac
(9.2)
Propriété 9.2 (Racine d'un polynôme de degré 2).
Soit
f = ax
2
+bx+c
avec
a ∈ R
0
, b, c ∈
R
. Alors il possède entre 0 et 2 racines réelles dont les abscisses sont données par :
x
±
0
=
−b ±
√
∆
0
2a
=
−b ±
√
b
2
− 4ac
2a
(9.3)
9 POLYNÔMES DU SECOND DEGRÉ
29
Preuve.
En appliquant la dénition du point 6, on voit qu'il faut résoudre l'égalité suivante :
y = f(x
0
) = 0
où
f(x) ≡ ax
2
+ bx + c
(9.4)
⇐⇒ f(x
0
) = ax
2
0
+ bx
0
+ c = 0
(9.5)
⇐⇒ f(x
0
) = a ·
x
2
0
+
b
a
· x
0
+
c
a
(9.6)
(9.7)
On utilise ici la méthode de
complétion du carré
:
(α + β)
2
= α
2
+ β
2
+ 2 · αβ
En posant
α = x
et
β = b/2a
, on obtient
x +
b
2a
2
= x
2
+
b
a
x +
b
2
4a
2
On utilise alors ce résultat pour le calcul de
f(x
0
)
:
f(x
0
) = a ·
x
2
0
+
b
a
· x
0
+
c
a
(9.8)
⇐⇒ f(x
0
) = a ·
x
0
+
b
2a
2
+
c
a
−
b
2
4a
2
!
(9.9)
⇐⇒ f(x
0
) = a ·
x
0
+
b
2a
2
−
b
2
− 4ac
4a
2
!
(9.10)
An de simplier l'écriture (et parce qu'on verra des propriétés intéressantes sur cette quantités plus
tard), on fait apparaître le
discriminant
∆
0
= b
2
− 4ac
.
L'équation 9.10 devient alors :
f(x
0
) = a ·
x
0
+
b
2a
2
−
∆
0
4a
2
!
= 0
(9.11)
⇐⇒
x
0
+
b
2a
2
−
∆
0
4a
2
= 0
(9.12)
⇐⇒
x
0
+
b
2a
2
=
∆
0
4a
2
(9.13)
⇐⇒ x
0
+
b
2a
=
±
√
∆
0
2a
(9.14)
⇐⇒ x
0
=
±
√
∆
0
2a
−
b
2a
(9.15)
⇐⇒ x
0
=
−b ±
√
∆
0
2a
(9.16)
⇐⇒ x
0
=
−b ±
√
b
2
− 4ac
2a
(9.17)
Remarquons que cette quantité n'est dénie que pour un discriminant
∆
0
positif ou nul. En eet :
Règle 9.1 (Règle du discriminant).
si
∆
0
> 0
,
f
possède
2 racines
réelles. On les note
x
±
0
ou
x
1
, x
2
.
si
∆
0
= 0
,
f
possède
1 racine
réelle. On la note
x
0
.
si
∆
0
< 0
,
f
ne possède
aucune racine
réelle.
9 POLYNÔMES DU SECOND DEGRÉ
30
Remarque.
En réalité, un polynôme de degré 2 possède toujours deux racines complexes,
données par
x
±
0
=
−b±
√
i|∆
0
|
2a
.
Figure 7
3 cas possibles en fonction de la valeur du discriminant
∆
0
9.2.3 Tableau de signes
De la même manière que pour les polynômes du premier degré (point 8), on peut dresser un tableau
de signes pour se faire une idée du comportement de la parabole.
Le comportement de
f(x)
lorsque
x
est "grand"
7
est donné par le signe de
a
, puisque le terme en
x
2
"gagne" sur le terme en
x
pour de grande valeurs de
x
. Ainsi, il sut de regarder le signe de
a
pour
connaître le signe de la fonction en
±∞
(cf gure 7). On adopte la convention, dans les tableaux de
signe suivant, que
±
vaut
+
si
a > 0
et
−
si
a < 0
(et inversement pour
∓
).
Si
∆
0
< 0
:
la fonction ne change pas de signe.
x R
signe de
f(x) ±
Si
∆
0
= 0
:
la fonction ne possède qu'une racine, et ne change pas de signe.
x ] − ∞; x
0
[ {x
0
} ]x
0
; ∞[
signe de
f(x) ±
0
±
7. Rigoureusement, on parle de la limite de
f(x)
lorsque
x
tend vers
±∞
.
9 POLYNÔMES DU SECOND DEGRÉ
31
Si
∆
0
> 0
:
la fonction possède 2 racines, et change de signe entre celles-ci.
x ] − ∞; x
−
0
[ {x
−
0
} ]x
−
0
; x
+
0
[ {x
+
0
} ]x
+
0
; +∞[
signe de
f(x) ±
0
∓
0
±
9.2.4 Minimum et maximum
Une parabole étant symétrique, son minimum (ou maximum) se trouve au milieu des deux racines.
On peut alors le calculer en utilisant cette méthode.
8
Commençons par donner les dénitions suivantes :
Dénition 9.3 (Distance entre deux points).
Soit deux points
x
1
et
x
2
. La distance entre
deux est donnée par :
∆x ≡ |x
2
− x
1
|
(9.18)
avec
| · |
est la valeur absolue.
Dénition 9.4.
L'
extremum
d'une fonction est dénit comme étant son maximum ou son
minimum.
Propriété 9.3 (Extremum d'une parabole).
Soit
f = ax
2
+ bx + c
avec
a, b, c ∈ R
0
. Alors
l'abscisse de son extremum est donné par :
x
extr
=
−b
2a
(9.19)
Preuve.
La moitié de la distance entre deux points est donnée par
d
1/2
=
∆x
2
=
|x
2
− x
1
|
2
(9.20)
On utilise alors la formule 6 pour calculer la distance entre
x
−
0
et
x
+
0
. Ensuite, le minimum sera donné
par
x
extr
= x
−
0
+ d
1/2
(9.21)
Ainsi,
d
1/2
=
|x
+
0
− x
−
0
|
2
(9.22)
8. Il existe une méthode beaucoup plus rapide qui utilise la dérivée de
ax
2
+ bx + c
, à savoir
2ax + b
, puis l'égale à
zéro pour obtenir
x
min
= −b/2a
.
9 POLYNÔMES DU SECOND DEGRÉ
32
Or,
x
+
0
> x
−
0
donc on peut laisser tomber les valeurs absolues
d
1/2
=
−b+
√
|∆
0
|
2a
−
−b−
√
|∆
0
|
2a
2
(9.23)
=
−b +
p
|∆
0
| + b +
p
|∆
0
|
4a
(9.24)
=
p
|∆
0
|
2a
(9.25)
On trouve donc que
x
extr
= x
−
0
+ d
1/2
(9.26)
=
−b −
p
|∆
0
|
2a
+
p
|∆
0
|
2a
(9.27)
=
−b
2a
(9.28)
On trouve que le
minimum/ maximum d'une parabole
est donnée par :
x
extr
=
−b
2a
Remarque.
Dans le cas où
∆
0
= 0
, on trouve bien que l'extremum de la fonction coïncide avec son
unique racine :
x
extr
= x
0
.
9.2.5 Autres formes d'une équation quadratique
Nous pouvons à présent introduire les deux autres formes (factorisée et canonique) d'un polynôme.
Dénition 9.5 (Forme factorisée et canonique).
Soit un polynôme du deuxième degré
f : R → R
de la forme
y = f(x) = ax
2
+ bx + c
où
a ∈ R
0
et
b, c ∈ R
On dénit sa
forme factorisée
de la manière suivante :
f(x) = a(x − x
+
0
)(x − x
−
0
)
(9.29)
où
x
±
0
sont les racines du polynôme.
On dénit sa
forme canonique
de la manière suivante :
f(x) = a(x − x
extr
)
2
−
∆
0
4a
2
(9.30)
où
∆
0
est le discriminant et
x
extr
l'extremum du polynôme.
Remarque.
En fait, nous avons déjà rencontré la forme canonique d'un polynôme dans l'équation 9.11
de la preuve de la propriété 9.2.
9.3 Inéquation
Dénition 9.6 (Inéquation du deuxième degré).
Une inéquation stricte du deuxième degré
à une inconnue est de la forme
ax
2
+ bx + x < 0
(9.31)
Remarque.
Cette dénition se généralise en remplaçant
<
par
≤
,
>
et
≥
.
9 POLYNÔMES DU SECOND DEGRÉ
33
Graphiquement, cela revient à considérer
x ∈ R
seulement si la parabole est en dessous de l'axe
des abscisses.
En général, une inéquation du deuxième degré se résout avec un tableau de signes.
9.4 Exemples simples
Remarque.
An de ne pas entraver le plaisir de la résolution d'exercices, les indications et/ou solutions
sont localisées dans le chapitre 10. Les symboles suivants sont utilisés :
indique que l'usage de la calculatrice est recommandée.
indique la présence d'une indication.

indique la présence d'une résolution partielle de l'exercice.
indique la présence de la solution nale.

indique la présence d'une explication détaillée.
Exercice 9.1 (
10.6).
Soit l'égalité suivante :
v + 15
3u
= u − 4
Trouver la fonction
v = f(u)
.
Trouver les racines de
f
.
Injecter les valeurs trouvées et vérier que ce sont bien des racines.
Dresser un tableau de signe pour
f
.
Exercice 9.2 (
10.7).
Soit l'égalité suivante :
x + π
3
y
= y + π(π − 1)
Trouver la fonction
x = f(y)
.
Trouver les racines de
f
.
Injecter les valeurs trouvées et vérier que ce sont bien des racines.
Dresser un tableau de signe pour
f
.
Exercice 9.3 (Inéquations produits).
Résoudre les inéquations suivantes. L'utilisation d'un tableau
de signes est recommandée.
1.
(x − 4)(3 − x) ≤ 0
2.
(x + 7)
2
+ 2(x + 1)(x + 7) ≤ 0
3.
4x
2
− 9 ≥ 0
4.
(3x + 5)
2
≥ 0
5.
(3x + 5)
2
≥ 1
Exercice 9.4 (Inéquations particulières).
Résoudre les inéquations suivantes sans calcul (ou
presque).
1.
−5x
2
≤ 0
2.
(x − 1)
2
< 0
3.
(x − 4)
2
> 0
4.
x
3
+ 2x
2
+ x ≥ 0
Exercice 9.5 (Inéquations rationnelles (

10.8)).
Résoudre les inéquations suivantes. L'utili-
sation d'un tableau de signes est recommandée.
1.
x+1
3−x
≥ 0
2.
7−2x
2x−1
≤ 0
3.
x+4
5−x
< 2
4.
5x
1−x
≤
10x
2x+1
9 POLYNÔMES DU SECOND DEGRÉ
34
Exercice 9.6 (Erreurs fréquentes).
Les propositions suivantes sont fausses. Donner une raison de
cette erreur puis donner la proposition vraie en résolvant l'inéquation
1. Si
x
2
≥ 9
, alors
x ≥ 3
2. Si
1
x
> 1
, alors
1 < x
3. Si
x(1 − x) < 2
, alors
1 − x < 2
4. Si
2x+1
x−3
≤ 1
, alors
2x + 1 ≤ x −3
9.5 Problèmes
En essayant continuellement, on nit par réussir. Donc plus ça rate, plus on a de chances que ça
marche.
Les Shadocks
Exercice 9.7 ((Intersection de courbes)
10.9).
Soit les fonctions dénies sur
R
:
(
f(x) = x
2
+ x − 6
g(x) = x − 2
Trouver les racines et les ordonnées à l'origine de
f
et
g
.
Tracer les graphes
Γ
f
(x)
et
Γ
g
(x)
.
Déterminer leur(s) intersection(s) graphiquement ( approximativement).
En quel(s) point(s) leurs courbes se croisent-elles ?
Remplacer le résultat obtenu pour vérier sa réponse.
Exercice 9.8 (
10.10).
Soit les fonctions
λ
et
ν
suivantes :
(
λ(x) =
x+1
x−3
ν(x) =
x−4
x+2
dénies respectivement sur
R\{3}
et
R\{−2}
Pourquoi
λ
n'est pas dénie en
x = 3
? Vers quoi tend la valeur de
λ(x)
lorsque
x
tend vers
3
?
Même question pour
ν(x)
.
Donner les racines de
λ
et
ν
.
En quel(s) point(s) leurs courbes se croisent-elles ?
Remplacer le résultat obtenu pour vérier sa réponse.
Exercice 9.9 (

10.11).
Plusieurs personnes se sont réunies pour fêter Noël. Chaque per-
sonne a apporté trois cadeaux à chacune des autres personnes.
Sachant qu'au total 468 cadeaux ont été déposés près de l'arbre de Noël, combien de personnes
y avait-il ?
Remplacer le résultat obtenu pour vérier sa réponse.
Exercice 9.10 (

10.12).
Un père a 25 ans de plus que son ls et le produit de leurs âges
est de 116.
Calculer les âges du père et du ls.
Un fois trouvé, réinjecter les réponses obtenues an de vérier sa réponse.
Exercice 9.11 (
).
Avec 180
¿
j'ai acheté un certain nombre d'articles identiques. Si chaque article
avait coûté 3
¿
de moins, j'aurais pu en acheter 3 de plus.
Combien en ai-je acheté ?
Quel était le prix initial ?
Remplacer les résultats obtenus pour vérier sa réponse.
Exercice 9.12.
On considère la droite
D
et la parabole
P
d'équations respectives :
(
D ≡ y =
1
2
x + 1
P ≡ y = x
2
−
3
2
x − 1
Calculer les abscisses
{x
i
}
des points d'intersection de
D
et
P
.
Calculer
D(x
i
)
et
P(x
i
)
9 POLYNÔMES DU SECOND DEGRÉ
35
Ces quantités sont-elles égales ? Pourquoi ?
Exercice 9.13 (Tchoutchou (
)).
Deux trains A et B partent en même temps d'une même gare,
l'un vers le nord et l'autre vers l'est. Le train A se déplace à 25 km/h de plus en moyenne que le train
B.
Après 2 heures, ils sont à 250 km de distance (à vol d'oiseau) l'un de l'autre.
Rappel : pour obtenir la distance parcourue à partir d'une vitesse moyenne, il faut multiplier la vitesse
par le temps écoulé.
Faire un schéma de la situation
Trouver la vitesse moyenne de chaque train.
Remplacer le résultat obtenu pour vérier sa réponse.
Exercice 9.14 (Équation bicarré).
Soit
z(x) = x
4
− x
2
− 6
.
Montrer que si un nombre
x ∈ R
est solution de
z(x) = 0
, alors le nombre
y
déni par
y = x
2
vérie
y
2
− y − 6 = 0
.
Déterminer les valeurs possibles de
y
.
Résoudre
z(x) = 0
.
Commenter le nombre de racines de
z
et remplacer le résultat obtenu pour vérier sa réponse.
Exercice 9.15 (Équation à paramètre (

10.13).
Soit
f
m
(x) = mx
2
+ 4x + 2(m − 1)
.
Pour quelles valeurs de
m
,
fm(x)
admet-elle une unique racine ?
Exercice 9.16.
Soit
Z
p
(z) = 5z
2
− 2pz + z
.
Trouver
p
tel que
−2 ∈ {z ∈ R|Z
p
(z) = 0}
Donner l'autre racine associée.
Remplacer le résultat obtenu pour vérier sa réponse.
Exercice 9.17.
Soit
A
a
(α) = aα
2
− 12α + 9
.
Déterminer toutes les valeurs possibles de
a
pour que
A
a
(α)
admettent deux racines distinctes.
Exercice 9.18.
Soit
B
β
(b) = 2b
2
+ 4b + β
.
Déterminer toutes les valeurs possibles de
β
pour que
B
β
(b)
ne possède aucune racine réelle.
Remplacer le résultat obtenu pour vérier sa réponse.
Exercice 9.19.
Soit
G
γ
(g) = γg
2
+ (γ −2)g −2
.
Déterminer toutes les valeurs possibles de
γ
pour que
G
γ
(b)
admette un seule racine réelle.
Exercice 9.20.
Soit le système
S ≡
(
@ + ú = 3
1
@
+
1
ú
= −
3
4
avec
@, ú ∈ R
.
Résoudre le système
Exercice 9.21 (Bonus).
Quel est le point commun entre une parabole et l'humour ?
Exercice 9.22 (
).
Une automobile et un camion font un trajet de 480 km. Ils partent en même
temps. L'automobile fait 20 km/h de plus que le camion et arrive à destination 2 heures avant le
camion.
Donner la relation entre la vitesse de l'automobile
v
a
et celle du camion
v
c
.
Donner la relation entre la temps de trajet de l'automobile
t
a
et celle du camion
t
c
.
Donner la relation entre la distance
d
et
v
a
,
t
a
. Idem pour
d
,
v
c
et
t
c
.
Trouver la vitesse de chaque véhicule
.
Exercice 9.23 (Inégalités quadratiques).
Résoudre dans
R
les équations suivantes :
h(y) = y
2
+ 2y − 15 > 0
1
x
>
x
x + 2
9 POLYNÔMES DU SECOND DEGRÉ
36
x
x + 1
≤
3
(x + 1)(x − 2)
3
2x − 1
−
x
2(x − 1)
≤ 0
Exercice 9.24.
Soit
f
m
(x) = −2x
2
+ 4x + m
Déterminer
m ∈ R
pour que
f
m
(x) > 0 ∀x ∈ R
.
Remarque.
Les exercices suivants : 9.9, 9.10 et 9.15 sont tirés de ce pdf.[6]
Les exercices suivants : 9.11, 9.12,9.13 et 9.14 sont tirés de ce pdf.[7]
Les exercices suivants : 8.4, 9.3,9.4, 9.5 et 9.6 sont tirés de ce pdf.[8]
Il est dicile de faire la diérence entre un
·
e mathématicien
·
ne qui dort et un
·
e mathématicien
·
ne
qui travaille.
André Lichnerowicz
10 SOLUTIONS DES EXERCICES ET PROBLÈMES
37
10 Solutions des exercices et problèmes
10.1 Solutions des exercices sur les polynômes du premier degré
Solution 10.1 (exercice 8.1).
Nous allons devoir résoudre un système de deux équations du
premier degré à deux inconnues. Notre but est de déterminer les coecients
a
et
b
de notre formule
f(x) = ax+b
. Or, les points
p
1
et
p
2
appartiennent à la droite, et donc satisfont l'égalité
y = f(x)
.
On injecte ainsi, pour chaque point, sa coordonnée :
(
ax
1
+ b = y
1
ax
2
+ b = y
2
⇐⇒
(
2a + b = 1
3a + b = 4
⇐⇒
(
b = 1 − 2a
a = (4 − b)/3
⇒ a =
4−(1−2a)
3
⇐⇒ 3a = 3 + 2a
⇐⇒ a = 3
En remplaçant
a = 3
dans
b = 1 − 2a
, on obtient
b = −5
. On trouve que notre droite a pour
équation
y = f(x) = 3x − 5
Sa racine est
x
0
= 5/3
et son tableau de
signes :
x ] − ∞; 5/3[ 5/3 ]5/3; +∞[
signe de
f(x)
- 0 +
Figure 8
Représentation graphique de
l'exemple 8.4
Solution 10.2 (exercice 8.2).
Un point
(x
i
, y
i
)
appartient à une fonction si il est solution de
l'équation
y
i
= f (x
i
)
. Il faut donc remplacer la coordonnée de chaque point dans l'équation ci-
dessus et voir ensuite si on obtient une contradiction (par exemple
3 = 2
) ou un résultat trivial
(par exemple
1 = 1
).
Pour le point
p
1
, on a :
y
1
= f(x
1
)
y
1
= −2x
1
+ 3
Or,
(x
1
, y
1
) = (7, −12)
−12 = −2 · 7 + 3
−12 = −11
On voit donc que le premier point n'appar-
tient pas à la droite :
p
1
/∈ (x, f (x))
y
2
= f(x
2
)
y
2
= −2x
2
+ 3
Or,
(x
2
, y
2
) = (−15, 33)
33 = −2 · (−15) + 3
33 = 33
On voit donc que le deuxième point appar-
tient à la droite :
p
2
∈ (x, f(x))
Indication 10.3 (exercice 8.5).
Pour traiter un problème, la première étape est d'extraire les
informations.
Premièrement, il faut comprendre ce qu'on nous demande : ici, le prix initial de la chemise.
Appelons le
x
c
.
10 SOLUTIONS DES EXERCICES ET PROBLÈMES
38
Ensuite, il faut mettre en équation le problème. On cherche à traduire le problème du langage
naturel au langage mathématique. Ici,
43 chemises au prix initial correspond à
43 · x
c
.
17 chemises avec un rabais de 1
¿
correspond à
17 · (x
c
− 1)
le reste des chemises correspond à
100 − 43 − 17
le reste des chemises à 1,5
¿
correspond à
(100 − 43 − 17) · 1, 5
le total des quantités précédentes étant
1234
, on obtient l'égalité suivante :
43 · x
c
+ 17 · (x
c
− 1) + (100 − 43 − 17) · 1, 5 = 1234
Notons que nous n'avons eectué aucun calcul, seulement traduit l'énoncé.
La suite est laissée en exercice au lecteur
·
ice
Indication 10.4 (exercice 8.6).
On cherche ici le nombre d'appartements total, qu'on appelle
A
t
.
1. Mise en équation :
première a travaillé sur deux cinquièmes du nombre total d'appartements : si l'on nomme
A
1
le nombre d'appartements où la première électricienne a travaillé, on a :
A
1
=
2
5
· A
t
la seconde a travaillé sur un cinquième du nombre total d'appartements plus 8 apparte-
ments :
A
2
=
1
5
· A
t
+ 8
les 16 appartements qui restent :
la dernière a travaillé sur les 16 appartements qui restent :
A
3
= A
t
− A
1
− A
2
= 16
2. Nous avons maintenant une relation entre
A
t
et
A
1
, A
2
, et entre
A
t
,
A
1
,
A
2
et
A
3
.
9
On peut donc écrire :
A
1
=
2
5
· A
t
A
2
=
1
5
· A
t
+ 8
A
3
= A
t
− A
1
− A
2
= 16
Nous avons 3 inconnues :
A
1
, A
2
, A
t
10
et 3 équations, ce qui veut dire que nous pouvons
trouver une solution. Il va falloir injecter les équations les une dans les autres. Ici, on va
injecter les 2 premieres équations dans la troisieme an de n'avoir qu'une seule variable :
A
t
.
A
1
=
2
5
· A
t
A
2
=
1
5
· A
t
+ 8
A
3
= A
t
− A
1
− A
2
= 16
⇒ 16 = A
t
−
2
5
· A
t
−
1
5
· A
t
+ 8
La suite est laissée en exercice
Indication 10.5 (exercice 8.7).
1. Tout d'abord, identions les inconnues. Nous en avons
deux : le prix du nouveau véhicule
x
n
("x neuf") et le montant de la somme empruntée
x
e
("x emprunté").
10 SOLUTIONS DES EXERCICES ET PROBLÈMES
39
2. Mise en équation :
"le client doit ajouter au montant de la reprise un quart du prix du nouveau véhicule puis
compléter par un emprunt égal à la moitié du prix du nouveau véhicule" correspond à :
3790 +
1
4
· x
n
+
1
2
· x
n
= x
n
La suite est laissée en exercice.
10.2 Solutions des exercices sur les polynôme du second degré
Solution 10.6 (9.1).
U
0
= {u
±
0
} = {−1; 5}
Solution 10.7 (9.2).
x = y
2
+ y · (π
2
− π) − π
3
et
Y
0
= {−π
2
; π}
Solution 10.8 (9.5).
An de résoudre ces inégalités, il faut dresser un double tableau de signe
pour la fonction au numérateur et au dénominateur. Résolvons ensemble l'exercice 3 en exemple :
Premièrement, passons tout les membres du même coté :
x + 4
5 − x
< 2
⇐⇒
x + 4
5 − x
− 2 < 0
⇐⇒
x + 4 − 10 − (−2x)
5 − x
< 0
⇐⇒
3x − 6
5 − x
< 0
Ensuite, identions nos diérentes fonctions :
h(x) ˆ=
f(x)
g(x)
=
3x − 6
5 − x
Trouvons les racines de
f
et
g
:
x
0,f
= 2
et
x
0,g
= 5
Dressons un double tableau de signe :
x ] − ∞; 2] 2 ]2; 5[ 5 ]5; ∞[
f
- 0 + + +
g
+ + + 0 -
h =
f
g
- 0 +
∅
-
On peut à présent répondre à la question simplement en lisant le tableau de signe :
h(x) < 0 ⇐⇒ x ∈ ] − ∞; 2[∪]5; ∞[
Regardons également le cas suivant :
h(x) ≤ 0 ⇐⇒ x ∈ ] − ∞; 2]∪]5; ∞[
On remarque que l'on a inclus
2
dans notre intervalle solution, mais pas
5
. En eet,
h
n'est
pas dénit en
g = 0
car on ne peut pas diviser par 0. Graphiquement, cela se traduit par une
asymptote en
x = 5
.
10 SOLUTIONS DES EXERCICES ET PROBLÈMES
40
Figure 9
Légende :
h
en rouge,
f
en vert,
g
en mauve,
x = 5
en bleu
Indication 10.9 (9.7).
Les courbes se croisent lorsque
f(x) = g(x)
Indication 10.10 (9.8).
Les courbes se croisent lorsque
λ(x) = ν(x)
Indication 10.11 (9.9).
Appelons
p
le nombre de personnes présentes. Si chaque personne a
apporté 3 cadeaux aux autres, chaque personne apporte
c
p
= 3 ·(p −1)
cadeaux ( il faut soustraire
1 à
p
car on ne s'ore pas de cadeau à soit même).
Puisque tout le monde suit cette règle, il y a à la n
c
tot
= p · c
p
cadeaux.
Indication 10.12 (9.10).
Appelons
a
p
(
a
f
) l'âge du père (respectivement du ls). On nous dit
que :
(
a
p
= a
f
+ 25
a
p
· a
f
= 116
Commencer par calculer un des deux âges seulement.
Solution 10.13 (9.15).
Pour résoudre cet exercice, il faut travailler par étape (par cas). En
observant l'équation, on peut se rendre compte que pour
m = 0
, le terme en
mx
2
disparaît, et pour
m = 1
, le terme indépendant
(m − 1)
disparaît. Mais on cherche une manière 'systématique' de
traiter les valeurs de
m
. Pour cela, il faut 'oublier' l'aspect paramétrique de
m
, et le traiter comme
un nombre quelconque.
Il faut donc résoudre les racines de
f
m
(x)
comme d'habitude. On trouve :
∆
0
(f
m
(x)) = 4
2
− 4 · m · 2(m − 1)
= 16 − 8m(m − 1)
= 16 − 8m
2
+ 8m
= 8(2 − m
2
+ m)
Or,
f
m
(x)
n'admet qu'une seule racine réelle si
∆
0
(f
m
(x)) = 0
(pour comprendre pourquoi, aller
10 SOLUTIONS DES EXERCICES ET PROBLÈMES
41
voir 9.1). Il faut donc résoudre cette égalité :
∆
0
(f
m
(x)) = 0 = 8(2 − m
2
+ m)
⇐⇒ 2 − m
2
+ m = 0
⇐⇒ m
2
− m − 2 = 0
⇐⇒ m =
+1 ±
p
(−1)
2
− 4 · 1 · (−2)
2 · 1
=
1 ± 3
2
⇐⇒ m
±
∈ {−1; +2}
On a donc trouvé deux valeurs
m
±
pour lesquelles
f
m
(x
±
)
admet une unique racine.
Vérions si c'est bien le cas :
f
m
+
(x) = 2x
2
+ 4x + 2 = 0 ⇒ ∆
0
(f
m
+
(x)) = 4
2
− 4 · 2 · 2 = 16 − 16 = 0
f
m
−
(x) = −x
2
+ 4x − 4 = 0 ⇒ ∆
0
(f
m
−
(x)) = 4
2
− 4 · (−1) · (−4) = 0
Un
·
e mathématicien
·
ne est un
·
e aveugle dans une pièce sombre à la recherche d'un chat noir qui
n'est pas là.
Charles Darwin
11 FORMULAIRE
42
11 Formulaire
Type de fonction Polynome de degré 1 Polynome de degré 2
Forme générale
f(x) = ax + b f(x) = ax
2
+ bx + c
Racines (
f(x
0
) = 0
)
x
0
=
−b
a
x
±
0
=
−b±
√
b
2
−4ac
2a
Minimum / Maximum
∅ x
min
=
−b
2a
Références
[1] Arian
Novruzi
.
Introduction au Calcul Diérentiel et Intégral
.
url
:
https://mysite.science.
uottawa.ca/novruzi/mat1700/my-mat1700-course.pdf
. (accessed: 26.07.2023).
[2] Guillaume
Dujardin
.
Calcul diérentiel et intégral II
.
url
:
http://chercheurs.lille.inria.
fr/~gdujardi/ULB/syllabusCDI2.pdf
. (accessed: 26.07.2023).
[3] Yvan
Monka
.
Rappels des notions de base
.
url
:
https://www.maths-et-tiques.fr/telech/
19Formulaire3e.pdf
. (accessed: 26.07.2023).
[4]
Wikipedia
.
Fonction polynomiale Wikipedia, The Free Encyclopedia
.
url
:
https://fr.
wikipedia.org/wiki/Fonction_polynomiale
. (accessed: 04.08.2023).
[5]
EXERCICES SUR LES EQUATIONS DU PREMIER DEGRE
.
url
:
https://ww2.ac-poitiers.
fr/math_sp/IMG/pdf/Exercices_et_problemes_sur_les_equations_du_premier_degre.pdf
.
(accessed: 09.08.2023).
[6]
Problèmes à résoudre avec des équations du second degré
.
url
:
https://www.ddm-vergote.be/
spip2013/IMG/pdf/exprobsnddegre1.pdf
. (accessed: 10.08.2023).
[7] J'ai
compris.com
.
´
Equation du second degré et plus; Première S ES STI - Exercices
.
url
:
http://www.jaicompris.com/lycee/math/equation/equation2nddegre/equation-second-
degre-premiere-S.pdf
. (accessed: 13.08.2023).
[8] Paul
Milan
.
Les inéquations du premier degré
.
url
:
https : / / www . lyceedadultes . fr /
sitepedagogique / documents / math / math2S / 03 _ inequation _ premier _ degre / 03 _ exos _
inequations_premier_degre.pdf
. (accessed: 20.08.2023).